Anno csináltam egy szavazót, az emberek kitöltötték, ez lett az eredménye:

Ezt gondolják az emberek, legalábbis akik engem olvastak. A blog jellegéből adódóan esélyesen értelmes emberek, az elemzőbb fajta gondolkodásúak közül. És mégis..

Erősen vezet a "szinte semmi" álláspont, 16:11 a 15% alatti illetve feletti tippek aránya. Valamilyen oknál fogva egészen sokan szavaztak a 91-100% esélyre is, ezen meglepődtem, nem gondoltam volna hogy ennyien fognak...

A helyes megfejtést 27 emberből egyvalaki találta el. A megfejtés: 73%. 

 Én magam ha tippelnem kellett volna, előzetes ismeret nélkül őszintén szólva szintén a legnépszerűbb válaszra szavaztam volna. Pont ezért nem hiszek az olyan embereknek, akik az én valószínűségérzetemre támaszkova próbálják velem elhitetni, hogy ez vagy az csak csoda lehet, vagy legalábbis a sors akarata, vagy hasonlók, merthogy annyira valószínűtlenül egyezik. Mert tudom, hogy az agyam megbízhatatlanul ítél ilyen kérdésekben, a fantáziám véges, nem éri fel a világot. És ha én ilyen vagyok, más sem különb.  Innentől bukik meg nálam nagyon súlyosan a "el nem tudom képzelni ez hogy lenne lehetséges máshogy mint...  < >"(üresen hagyva a vége, tetszőlegesen behelyettesíthető isteni beavatkozás, Sors, Végzet, Sátán, varázslat, ami kell).

A szavazó ötletét ebből a cikkből merítettem, eredetije itt. Nekem nagy kedvencem, remélem másnak is tetszik majd.

SZKEPTIKUS LAPOK

Koincidenciák és egyéb kis valószínûségû események LACZKOVICH MIKLÓS

 

A koincidencia szó események olyan véletlen egybeesését jelenti, amelyet váratlannak vagy meglepônek érzünk. A szót legpontosabban a Webster's New World Dictionary szótár definiálja; eszerint a koincidencia "események, gondolatok stb. olyan figyelemre méltó, véletlen egybeesése, amely tévesen ok-okozati összefüggést sugall." Valóban, szélsôséges esetekben a koincidencia azt a misztikus érzést kelti, hogy a világban titokzatos és rejtett erôk hatnak, amelyek egyik csodálatos megnyilvánulása éppen a megfigyelt esemény.

Az, hogy koincidenciák vannak, mindannyiunk közös tapasztalata. Egyesek gyûjtik és feljegyzik a koincidenciákat. Ilyen volt J. E. Littlewood, századunk elsô felének nagy angol matematikusa is, aki "A Mathematician's Miscellany" (Egy matematikus feljegyzései) címû könyvében1 azt írja: "Néha megkérdezem valakitôl, mi volt a legfigyelemreméltóbb koincidencia, amit valaha is tapasztalt, és hogy ez, mint a legfigyelemreméltóbb, tényleg figyelemre méltó-e". Littlewood maga is megemlít néhány ilyen eseményt. Egy hasonló gyûjteményt találhatunk W Weaver: Szerencse kisasszony címû könyvének2 1.3. fejezetében. Ha engem megkérdeznének, én alighanem a következô történetet mesélném el.

Néhány évvel ezelôtt egy Sydneyben élô ismerôsöm testvére, Steve, életében elôször Magyarországra látogatott. A feladatom az volt, hogy Steve-et a Ferihegyi repülôtérrôl a Déli pályaudvarra kísérjem, és ott feltegyem egy Balatonra menô vonatra. A pályaudvarra menet megemlítettem Steve-nek, hogy véletlenül Pesten tartózkodik Szekeres György, az ugyancsak Sydneyben élô magyar matematikus is, akit azonban Steve nem ismert, és még a nevét sem hallotta korábban. (Ezt nem vettem tôle rossz néven, hiszen Sydneynek több mint 3 millió lakosa van, és 5teve nem matematikus.) A Déli pályaudvaron két percre magára hagytam Steve-et, amíg a pénztárban megvettem a vonatjegyét. Amikor azonban visszatértem, Steve már nem volt egyedül: elmerülten beszélgetett Szekeres Györggyel.

Jól emlékszem a misztikus döbbenetre, ami a láttukra elfogott. (A történet magyarázata az, hogy Szekeres éppen átsétált a pályaudvaron [ez volt a legrövidebb út a villamosmegálló és a lakása között], és meglátta Steve-et, aki egy kengurut ábrázoló trikót viselt. Szekeres kíváncsi volt, hogy az ismeretlen tényleg Ausztráliából jött-e, ahogy a trikója suggalta, ezért megszólította, és beszédbe elegyedett vele.)

A történetet több szempontból is tanulságosnak találtam. Elôször is, valahányszor elmeséltem, mindig bosszantott, hogy a hallgatóság reakciója hûvösebb volt az általam elvártnál. Rá kellett jönnöm, hogy egész más dolog egy ilyen történet részesének lenni, mint arról kívülrôl értesülni. Ami velünk történik, az egyszeri, jelentôs és titkos értelmet hordoz, míg ha ugyanaz másokkal történik, ez az érzelmi töltet hiányzik. (A barátaim a történetemet hallgatva ezt gondolhatták: egy ismerôsöm két ausztrál ismerôse véletlenül találkozott Budapesten. Olyan nagy dolog ez?) A szubjektív és objektív nézôpontoknak ezt a különbségét mindig figyelembe kell venni, ha egy koincidenciát meg akarunk ítélni.

Ezért eltûnôdtem: vajon Littlewood figyelemre méltónak találta volna ezt a történetet? Egyáltalán, mi dönti el, hogy egy esemény mennyire "figyelemre méltó"? Nyilván az, hogy mennyire valószínûtlen. Megállapodhatnánk, hogy egy eseményt "különösnek" nevezünk, ha a valószínûsége kb. 1/1000=10–3, "meglepônek", ha a valószínûsége 10–4, "rendkívül meglepônek", ha 10–5, "hihetetlennek", ha 10–6, és "lehetetlennek, csodával határosnak", ha a valószínûsége 10–7. (Annak a valószínûsége, hogy telitalálatunk van az ötös lottón, 1/43949268, kb. 2,2·10–8, ez tehát a fenti megfeleltetésszerint még a csodával határosnál is valószínûtlenebb. Egyébként Weaver a Szerencse kisasszony 13. fejezetében meggyôzôen érvel amellett, hogy nem a valószínûség dönti el, hogy egy eseményt mennyire érzünk meglepônek, hanem a "meglepôségi index", ami azt méri, hogy az adott esemény valószínûsége hogyan aránylik a lehetséges egyéb kimenetelek valószínûségeinek súlyozott átlagához. Ezért a fenti skálában valószínûség helyett tulajdonképpen ezt az indexet kellene használnunk.)

De még ha el is fogadnánk egy ilyen megfelelést (ami természetesen minden alapot nélkülöz), hogyan számítsuk ki a Szekeres-történet valószínûségét? Egyáltalán, mi itt az esemény? Az, hogy Szekeres és Steve találkoztak, pedig nem ismerték egymást? Ez az esemény soha többé nem ismétlôdhet meg (mert már ismerik egymást), ezért nincs értelme a valószínûségérôl beszélni, tehát azt firtatni, hogy várhatóan az esetek hányadrészében fog bekövetkezni. Talán azt mondhatnánk: az esemény az volt, hogy egy A személynek egy általa nem ismert B személyrôl beszéltem, majd egy negyedórán belül A és B véletlenül találkoztak és megismerkedtek. Nyilván nehéz volna ennek a valószínûségét megbecsülni. De egy hasonló, sôt még látványosabb eset analízise megtalálható Luis W. Alvarez (a Nobel-díjas fizikus) egy írásában.

Alvarez leírja, hogy 1965. május 16-án a San Francisco Sunday Chronicle egyik cikkében egy Carleton S. Coon nevû antropológusról olvasott. Errôl eszébe jutott az a Carleton Coon nevû zenész, aki a 30-as években Chicagóban Joe Sandersszel megalakította a Coon-Sanders együttest, amelyet diákkorában gyakran hallott egy zenés szórakozóhelyen. Alvarez megjegyzi, hogy 30 év óta alighanem elôször gondolt Joe Sandersre. Kevesebb, mint 5 perccel késôbb, az újság halálozási rovatában felfedezte Joe Sanders halálhírét.

Alvarez története egy archetípust követ: az ilyen, szenzációsnak számító történetekben az elbeszélônek eszébe jut valaki (esetleg álmodik valakiról), akire már évtizedek óta nem gondolt, majd röviddel ezután értesül az illetô haláláról. A régi, babonás elképzelés (hogy ti. ilyenkor az elhunyt üzen) tudományos korunkban a parapszichológia átfogalmazásában él tovább. Eszerint ilyenkor telepátiáról vagy más, közelebbrôl nem meghatározott psi-jelenségrôl van szó. (Itt a "psi" a "psychic", azaz okkult lelki jelenség rövidítése.)

Alvarez csak annyit jegyez meg, hogy az ilyenfajta történetek népszerûek a parapszichológia irodalmában, és kommentár helyett megkísérli megbecsülni az esemény valószínûségét. Így okoskodik: azon ismerôseinek számát, akikre 30 év során egyszer gondolhat, kb. 3000-re teszi, és felteszi, hogy ezen ismerôsök bármelyikének a halálhírérôl is értesülhet ebben a periódusban. (Alvarez megjegyzi, hogy a 3000-es szám talán túl nagynak tûnik, ezt azonban ellensúlyozza az a feltétel, hogy mindegyikre esak egyszer gondolhatunk 30 év alatt. A valóságban nyilván ennek a sokszorosáról van szó.) Annak a valószínûségét kell kiszámítani, hogy egy adott, 5 percnyi idôintervallumban (amelynek a kezdetét az a pillanat jelöli ki, amikor a 3000 ismerôs valamelyike az eszünkbe jut), értesülünk az illetô haláláról. Annak a valószínûsége, hogy egy adott ismerôsre ugyanabban az 5 perces intervallumban gondolunk, amikor a haláláról is értesülünk, körülbelül annyi, ahány 5 perces intervallum van 30 évben, tehát 1:3153600, kb. 3·10–7. Így annak a valószínûsége, hogy ez a 3000 ismerôs valamelyikével fog velünk megesni, kb. 9000·10–7. Ebbôl következik, hogy annak a valószínûsége, hogy ez az esemény egy adott évben következik be, ennek a 30-ad része, tehát kb. 300·10–7= 3·10–5.

Igen ám, de az Egyesült Államokban kb. 108 felnôtt él. Ha mindegyikükkel 3 valószínûséggel következik be egy esemény egy év alatt, akkor ez azt jelenti, hogy csak az Egyesült Államokban évente kb. 3000 ilyen esemény kell, hogy bekövetkezzen; azaz átlagban naponta 10. Nem csoda, fejezi be írását Alvarez, hogy ilyen tömegû észlelésbôl jó néhány eljut a parapszichológiai folyóiratokba, ahol aztán a psi-jelenségek bizonyítékaként tálalják ôket.

A tanulság az, hogy nagyon sok ember él a Földön, és mindegyikkel nagyon sok esemény történik; szükségszerû tehát, hogy ezek között egészen kis valószínûségû események is bekövetkezzenek. Különös, hogy ez az egyszerû gondolat még tudományosan képzett elmékben sem ötlik fel, amikor kis valószínûségû események bekövetkezésébôl fantasztikus következtetéseket vonnak le.

Martin Gardner Áltudomárcyos hóbortok és téveszmék címû könyvének4 25. fejezete J. B. Rhine-nak, a neves parapszichológusnak az ESP-vel kapcsolatos munkásságát ismerteti. (Az ESP az "extra-sensory perception" azaz "érzékeken kívüli észlelés" rövidítése; ez a kifejezés magában foglalja a telepátiát és a clairvoyance-t, tehát az okkult távolbalátást.) Ebben leírja azt az eljárást, amellyel a parapszichológusok kiválasztják a médiumokat, tehát azokat a személyeket, akiknek telepatikus és egyéb psi-jellegû tulajdonságokat tulajdonítanak.

"Tegyük fel – mondja Gardner –, hogy egy kísérletvezetô megvizsgálja egy osztály 100 tanulóját, hogy meghatározza, kivel végez majd további kísérleteket. A véletlen törvényei alapján körülbelül 50 tanuló az átlag felett és 50 az átlag alatt teljesít. A kísérletezô úgy dönt, hogy az átlag felett teljesítôk a leginkább valószínû médiumok, úgyhogy behívja ôket további vizsgálatokra. A második teszt alulteljesítôit megint elbocsátja, és a magas teszteredményeket felmutatókkal dolgozik tovább. Végül egy személy marad, aki az átlag felett teljesített hat vagy hét egymás utáni alkalommal. Mint egy izolált eset, ez nagyon valószínûtlen, de mint a leírt kiválasztási eljárás eredménye, ilyen kimenetel várható.

"Egy hozzáértô kísérletezô persze nem követ el ilyen durva hibát, de a példa mutatja, hogy a kiválasztás kérdése milyen kényes és bonyolult. Hogy egy jobb példát adjunk, képzeljünk el, hogy száz pszichológiaprofesszor elolvassa Rhine munkáját és elhatározza, hogy ellenôrzi az eredményt. Az az ötven, aki az elsô elôzetes vizsgálatnál nem talál ESR-t, valószínûleg elbátortalanodik és abbahagyja, a többiek viszont felbátorodnak és folytatják. Ebbôl az ötvenbôl néhányan abbahagyják a munkát a második teszt után, míg mások folytatják, mert jó eredményeket kapnak. Végül marad egy kísérletezô, akinek az alanyai hat vagy hét egymás utáni alkalommal jó eredményeket mutattak. Sem a kísérletvezetô, sem a kísérleti személyek nincsenek tudatában a többi kilencvenkilenc kísérletnek és abban az erôs tévhitben élnek, hogy az ESP mûködött közre. Valóban, egy ilyen sorozatnak nagyon kicsi az esélye. De a teljes (és ismeretlenül maradt) összefüggésben nézve, egy ilyen sorozat nagyon is valószínû. (Annak, hogy telitalálatunk legyen a totón, még kisebb az esélye. És egyeseknek mégis telitalálatuk van.)"

Vannak olyan események, amelyek bizonyos számszerû adatok egybeesésekor következnek be; ezek valószínûségének a kiszámítása általában nem okoz gondot. Egy ilyen eseményt említ Faludy György Jegyzetek az esôerdôbôl címû könyvének5 184. oldalán. Faludy megemlíti Arthur Koestler Roots of Coincidence címû könyvét6 és ezt írja róla:

"A könyv egyebek közt arról szól: gyakori, sôt olykor mindennapos, ami statisztika szerint csak a legritkább esetben fordul elô. Az egyik példa Mahler, a zeneszerzô esete. Borús napon a 881-es konflison ment a bécsi operaházba, bundáját a földszinti ruhatárba tette le és a 881-es számot kapta, majd a pénztárnál megvette a 881-es ülést. Amennyiben – állapította meg Koestler – ezer konflis járta akkoriban Bécs utcáit, a ruhatárban ezer számot tartottak készenlétben és az opera földszintjén ezer ülés volt, úgy annak lehetôsége, hogy Mahler háromszor egymás után ugyanazt a számot kapja, 1 volt az 1 000 000 000 ellen. Százezer évenként is csak nagyon ritkán eshetik meg."

A fenti koincidencia megítélésében mindenekelôtt azt kell tisztázni, hogy mi is az az esemény, aminek a valószínûségét ki akarjuk számítani. A Faludy által kiszámolt 10–9 annak a valószínûsége, hogy Mahler egy adott alkalommal háromszor a 881-es számot kapta. De feltéve, hogy háromszor a 472-est kapta, vajon Faludy nem ugyanilyen álmélkodással mesélné el a történetet? Világos, hogy az esemény valójában abból áll, hogy Mahler háromszor egymás után ugyanazt a számot kapta; ennek a valószínûsége pedig nem 10–9, hanem 10–6 (hiszen a három megegyezô szám 1000-féleképpen választható). Továbbá, amennyiben Mahler 10 alkalommal is konflissal ment operába, a valószínûség máris nem 10–6, hanem (körülbelül) 10–5. Végül, ha az esemény nem Mahlerral, hanem Freuddal, Klimttel, vagy a Bécsben élô 10 másik világhíres tudós vagy mûvész bármelyikével esik meg, ugyanúgy elcsodálkoznánk, tehát a keresett valószínûség (legalább) 10–4. A Mahler-anekdotát tehát nevezhetjük meglepônek, de olyan eseménynek, amely "százezer évenként is csak nagyon ritkán eshetik meg", aligha.

Nagyobb baj, hogy ez az anekdota sohasem történt meg, és ha jobban belegondolunk, nem is történhetett. Tudni lehet ugyanis, hogy Mahler diákkorában alig járt operába (mert nem volt pénze), és ha nagy ritkán el is ment egy bemutatóra, akkor a karzaton szorongott, és egész bizonyosan nem fogadott konflist. Miután pedig 1897-ben visszatért Bécsbe mint az operaház karmestere majd igazgatója, nemigen volt szüksége rá, hogy a pénztárban vegye meg a jegyét, a ruhatárról már nem is beszélve.

A történet Koestler könyvében természetesen nem szerepel. A Roots of Coincidence azon fejezete, amelyre Faludy hivatkozik, a Seriality and Synchronicity (Sorozatosság és egyidejûség) címet viseli, és fôként Paul Kammerer Das Gesetz der Serie (A sorozatosság törvénye) címû mûvérôl szól.

Paul Kammerer (1880–1926) osztrák zoológus az egyik utolsó képviselôje volt annak a nézetnek, amely szerint az egyén. szerzett tulajdonságai átörökíthetôk. Az ezt alátámasztó bizonyítékait megcáfolták, a legfontosabb kísérletérôl pedig – amely a dajkabéka bizonyos szerzett tulajdonságáról vélte kimutatni, hogy öröklôdik – kiderült, hogy hamisításon alapszik. Ezt követôen Kammerer öngyilkos lett. (Kammerer életének Koestler egy külön könyvet szentelt The Case of the Midwife Toad [A dajkabéka esete] címmel.)

Kammerer megszállott koincidenciagyûjtô volt; a tapasztalt koincidenciákat gondosan feljegyezte, dokumentálta és osztályozta. Koestler közöl néhányat a Kammerer által gyûjtött koincidenciákból. Ezek egyikében Kammerer sógora 1910. november 4-én koncertre ment, ahol 9. számú helyre szólt a jegye, és a ruhatarjegye is 9-es volt. Másnap ismét koncenrtre ment, amikor is a ruhatárjegyének és a helyének a száma egyaránt 21 volt. (100 helyet feltételezve egy 10–4 valószínûségû, tehát meglepô eseményrôl van szó.) Nyilván ez az eset transzformálódott Faludy György emlékezetében a Mahler-történetté. (Mahler szerepeltetése a történetben talán annak az életrajzi ténynek tulajdonítható, amely szerint Gustav Mahler özvegye egy ideig Kammerer asszisztense volt. Kammerer beleszeretett és viharos körülmények között megkérte a kezét, de kosarat kapott.)

Kammerert nem csupán (sôt elsôsorban nem) a látványos koincidenciák érdekelték, hanem az az általa sorozatosságnak nevezett jelenség, hogy bizonyos minták, motívumok, eseménytípusok gyakran sorozatban, egymást követve jelennek meg. Amint Koestler írja, "Kammerer órákat töltött különbözô parkok padjain ülve, és feljegyezte az elhaladó emberek számát, osztályozva ôket nem, kor, öltözék szerint, vagy hogy van-e náluk csomag vagy esernyô. Ugyanezt tette a külvárosból a laboratóriumába vezetô hosszú utazásai alatt is." Az így kapott adatokat rendszerezte és kiértékelte, a levont következtetéseket pedig a Sorozatosság törvénye címû monográfiában publikálta. Elmélete a következô. Létezik egy természettörvény, "das Gesetz der Serie", amely az azonos vagy hasonló motívumokat tartalmazó eseményeket tömöríti, egymáshoz vonzza, illetve közeli csoportokba rendezi. Ezt a természettörvényt figyelhetjük meg a sorozatosság jelenségében és a koincidenciákban. A törvény független az ok-okozatiságtól(!) és nem abszolút érvényû, inkább csak tendenciaként jelentkezik.

(Ezen a ponton érdemes megjegyezni, hogy a "sorozatosság törvényének" ez a két ismertetôjegye, nevezetesen az ok-okozatiságtól való függetlenség és a tendenciajelleg az áltudományos elméletek szinte mindegyikének sajátja, az asztrológiától kezdve a telepátiáig és az egyéb psi-jelenségekig. Szinte azt mondhatnánk, hogy a paratudomány nem is egyéb, mint a kauzalitástól független és "tendencia-jellegû" erôk feltételezése.)

Különös módon Kammerer, aki természettudósnak tekintette magát, nem érzett ellentmondást az elmélete és a természettudomány normái között. A "sorozatosság törvényének" elméletét épp olyan tudományosnak és megalapozottnak tekintette, mint rendkívüli gonddal és szakmai tudással megtervezett és kivitelezett állatkísérleteit. (Meg kell jegyezni, hogy – Koestler szerint – Kammerer személyes felelôssége a dajkabéka-kísérletek meghamisításában sosem volt minden kétséget kizáróan bizonyítva.)

A nagy különbség Kammerer elmélete és, mondjuk, az asztrológia között az, hogy a Kammerer által felfedezett jelenség valóban létezik. Csak éppen Kammerer, miközben a véletlen törvényszerûségeit vizsgálta, nem gondolt arra, hogy az illetékes tudományhoz, a valószínûségszámításhoz forduljon magyarázatért. Ha megteszi, sok munkától és tévedéstôl kímélhette volna meg magát.

Képzeljük el Kammerert, amint egy padon ülve feljegyzi az elôtte elhaladók nemét, és azt tapasztalja, hogy a kapott sorozatban meglepôen hosszú, azonos nemûekbôl álló blokkok vannak. Ebbôl (és számtalan hasonló jellegû megfigyelésbôl) arra következtetett, hogy itt a titokzatos "sorozatosság törvénye" mûködik közre, amely a hasonló tulajdonságú dolgokat (az adott esetben az azonos nemû járókelôket) homogén sorozatokba rendezi. Holott, amit tapasztalt, az pusztán az a tény, hogy a véletlen sorozatok túlnyomó részében sokkal hosszabbak a homogén blokkok, mint amit a véletlenrôl alkotott (hibás) szemléletünk alapján elvárnánk. Varga Tamás hatásosan használta fel ezt a jelenséget a valószínûségszámítás iránti érdeklôdés felkeltésére. Erdôs Pál és Révész Pál ezt így mesélik el egy 1973-ban írt dolgozatukban.

"Varga Tamás általános iskolások valószínûségszámítás-oktatását a következô kísérlettel szokta kezdeni:

Az osztályt két részre osztja, az egyik csoportban minden gyereknek egy pénzdarabot kell kétszázszor feldobnia és leírnia egy papírra a dobások eredményeit. A második csoportban a gyerekeknek pénzdobás nélkül kell elôállítaniuk egy 200 hosszúságú »véletlen« fej-írás sorozatot. A kísérlet elvégzése után a gyerekeknek a papírokra egy-egy jelszót kell felírniuk. Így a papirosokat összeszedô tanár nem tudja, melyik papírszelet jött az igazi és melyik az ál-véletlen csoportból. Ennek ellenére kevés hibával képes megállapítani a kapott fej-írás sorozatok eredetét.

A kísérlet általában jó eredménnyel végzôdik, a tanár az eseteknek csak mintegy 10-20 százalékában téved. Mondanunk sem kell, hogy a gyerekeket a sikeres »bûvészmutatvány« nagy lelkesedéssel szokta eltölteni.

Varga Tamás ezen sikeres mutatványa a következô egyszerû észrevételen alapszik. Az a gyerek, aki mesterségesen próbál meg egy véletlen sorozatot gyártani, félni fog túl sok fejet (vagy írást) írni egymás után, úgy gondolja, hogy 3–4 fej után okvetlenül írásnak kell következnie. A pénzdarab »memóriája« nem ilyen jó, egy 200 hosszúságú igazán véletlen fej–írás sorozatban 6–7 hosszúságú tiszta fej blokk is elô szokott fordulni. Ennek alapján Varga Tamás döntési eljárása a következô: azokról a fej–írás sorozatokról mondja, hogy igazi véletlen sorozatok, amelyekben a leghosszabb, csak fejeket tartalmazó blokk hossza 5-nél hosszabb. Ez az eljárás vezet az említett sikeres eredményhez."

A következô egyszerû számolás mutatja, hogy a 200 hosszúságú fej–írás sorozatok jelentôs hányadában kell lennie 6 hosszúságú tiszta fej sorozatnak. Osszuk fel a sorozatot 33 darab 6 hosszúságú blokkra és a maradék két jelre. A blokkok mindegyikében 26 = 64-féle fej–írás sorozat állhat. Ha azonban a sorozatban nincs 6 hosszúságú tiszta fej blokk, akkor a 33 blokk mindegyikének csak 63 lehetséges kitöltése van, és így az ilyen 200 hosszúságú sorozatok száma legfeljebb 6333·2·2, kb. 9,55·1059. Mivel az összes 200 hosszúságú fej–írás sorozatok száma 2200, kb. 1,6·1060, ezért az összes sorozatnak legfeljebb 9,55·1059/1,6·1060 = 0,59-ed része nem tartalmaz 6 hosszúságú tiszta fej blokkot. A valóságos arány azonban ennél jóval kisebb, hiszen nem vettük figyelembe, hogy 6 egymást követô fej nem kell, hogy kitöltse a kijelölt 33 blokk valamelyikét, hanem átnyúlhat két szomszédos blokk határán is. A pontos számítás azt mutatja, hogy a 6 hosszúságú, tiszta fej blokkot nem tartalmazó sorozatok aránya kisebb, mint 0,2; tehát annak a valószínûsége, hogy egy sorozat tartalmaz 6 egymás utáni fejet, több, mint 80 százalék.

Egy hasonló, szemléletünknek élesen ellentmondó tapasztalatot szolgáltat a "születésnapok paradoxona". Tegyük fel, hogy egy szobában n ember tartózkodik. Mi a valószínûsége, hogy közülük legalább kettônek megegyezik a születésnapja, azaz ugyanannak a hónapnak ugyanarra a napjára esik? A válasz a következô: 23 ember esetén a valószínûség több, mint 50 százalék, tehát nagyobb az esélye annak, hogy van két ember a társaságból azonos születésnappal, mint annak, hogy ez nem fordul elô. 30 ember esetén ez a valószínûség 73 százalék, 40 személynél 90 százalék, egy 50 tagú társaságban pedig már több, mint 97 százalék. Ez bizony meglepô, és ha Kammerer találkozott volna ezzel a jelenséggel, bizonyára úgy magyarázta volna, hogy a "sorozatosság törvénye" vonzotta egy helyre az azonos születésnapú személyeket. Ezzel szemben a prózai valóság az, hogy ezeknek az eseményeknek egyszerûen ennyi a valószínûsége. Egy matematikai tényt titokzatos, "föld alatti" törvényekkel magyarázni annyi, mint feltételezni egy misztikus erôt, amely arra kényszeríti a derékszögû háromszögeket, hogy a befogóikra rajzolt négyzetek területének összege mindig egyenlô legyen az átfogóra rajzolt négyzet területével.

Befejezésül Kammerer egy figyelemre méltó gondolatát szeretném idézni. Kammerer azt mondja, hogy azok a koincidenciák, amelyeket véletlenül megfigyelhetünk, csupán a jéghegy csúcsát képezik, mert kultúránk és neveltetésünk arra szoktatnak, hogy a "Sorozatosság" mindenütt jelen lévô megnyilvánulásait figyelmen kívül hagyjuk. Kammerernek természetesen igaza van; a tudatunk alaposan megszûri azt a mérhetetlen mennyiségû adatot és összefüggést, amivel a külvilág bombáz minket. Hogy ez valóban így van, arról meggyôzôdhetünk azokban a szélsôséges tudatállapotokban (fáradtság, részegség vagy betegség), amikor ez a mechanizmus meggyengül: amikor fáradtak vagyunk, váratlan, bosszantó vagy nem kívánatos asszociációk gyötörnek; a részeg társaság viccei mindent mindennel összefüggésbe hoznak; egyes pszichózisokban pedig az összefüggések már az egész világot behálózzák.

A szabadjára engedett és megalapozatlan összefüggések nem ritkán a szélhámosság eszközeivé válnak. Az egyik legjobb példa erre a "piramis titkainak elmélete", amikor a Kheopsz-piramis adatai között fedeznek fel meghökkentô összefüggéseket. Martin Gardner, idézett könyvének 15. fejezetében, könnyedén bebizonyítja, hogy bármely, véletlenül választott adathalmazból (ô a Washington-emlékmû adatait használja) a legfantasztikusabb összefüggéseket préselhetjük ki.

A fentiekkel nem azt akarom mondani, hogy a felszín alatti összefüggések keresése mindig beteges vagy káros. Épp ellenkezôleg, ha idônként nem pillanthatnánk a felszín alá – nemegyszer az intuíció vagy a tudatalatti felszabadításával –, nem volna sem költészet, sem tudomány. De a felfedezett összefüggések valódi értékérôl mindig a józan ész mondja ki a végsô szót.

HIVATKOZÁSOK

1. Egy kibôvített, Littlewoodról szóló írásokat is tartalmazó kiadása: Littlewood's miscellany. Szerk.: B. Bollobás. Cambridge University Press, 1986.
2. Gondolat, 1979. Második kiadás: Kairosz Kiadó, 1995.
3. Science 1541 (1965), 148. o. A Sceptical Inquirer újra közölte Anecdote and Coincidence in Parapsychology címmel a VI. szám (1982) 74–75. oldalán.
4. Martin Gradner: Fads and Fallacies in the Name of Science. Dover, 1957.
5. Faludy György és Eric Johnson: Jegyzetek az esôerdôbôl. Magyar Világ Kiadó, 1991.
6. Arthur Koestler: The Roots of Coincidence, Hutchinson of London, 1972.
7. Erdôs Pál és Révész Pál: Varga Tamás egy problémájáról. Matematikai Lapok 24 (1973), 273–282.